שאלה

מדוע קבוצת כל הקרדינלים (עוצמות) אינה קבוצה אלא מחלקה?

האם העוצמה יכולה להיות מספר שברי או שהיא רק מספר שלם או אינסופי?

תודה לעונים

עוצמה של קבוצה היא מספר האיברים הנמצאים בקבוצה.

לכן העוצמה של קבוצה ריקה היא 0, והעוצמה של הקבוצה {3,6,20,8954} היא 4.

כמובן שלא יתכן שמספר איברי הקבוצה יהיה שלילי או שבר (כלומר חלק של איבר), ולכן עבור קבוצות סופיות, תמיד יהיה מדובר במספר שלם אי-שלילי.

עבור קבוצות אינסופיות, המצב כבר שונה. הוכח כי יש קבוצות אינסופיות המכילות איברים רבים יותר מאשר קבוצות אינסופיות אחרות.

למשל קבוצת המספרים הטבעיים היא כמובן אינסופית ולכן עוצמתה תסומן כאלף אפס, אבל קבוצת כל הקבוצות החלקיות שלה היא בהכרח גדולה יותר.

נחזור קצת על ההגדרות:

  • אנו אומרים שקבוצה A היא מעוצמה קטנה או שווה לקבוצה B, אם קיימת פונקציה חד-חד ערכית מA לB
  • אנו אומרים שקבוצה A היא מעוצמה גדולה או שווה לקבוצה B, אם קיימת פונקציה על מA לB
  • לכן, A וB הן בעלות אותה עוצמה אם קיימת פונקציה הפיכה (חד-חד ערכית ועל) ביניהן.

לכן קבוצה S מעוצמה של 1.5 ("אחת וחצי") למשל צריכה לקיים

  1. קיימת פונקציה חד-חד ערכית מS ל{1,2}
  2. לא קיימת פונקציה על מS ל{1,2}
  3. קיימת פונקציה על מS ל{1}
  4. לא קיימת פונקציה חד-חד ערכית ל{1}

קל לראות שמ(1) נובע שלS יש לכל היותר שני איברים, ומ(3) שלS יש לכל הפחות איבר אחד.

אם לS יש שני איברים: s1,s2 ברור שקיימת פונקציה הפיכה (f(s1)=1,f(s2)=2)

לכן לS יכול להיות רק איבר אחד:s1

אבל, f(s1)=1 היא הפונקציה ההפיכה ל{1}

לכן ארבעת התנאים לא יכולים להתקיים, ואין עוצמות שבורות

עבור לעמוד
בחזרה לפורום
כרגע בפורום זה: אין משתמשים רשומים
עבור לפורום:
מתמטיקה ומדעי המחשב
בחר
בחר