שאלות

למה מינוס כפול מינוס זה חיובי? יש הוכחה מתמטית? ולמה גם כן חיובי כפול שלילי זה שלילי?

שדה במתמטיקה

שדה במתמטיקה הוא קבוצה, ושתי פעולות * ו + שמקיימת את התכונות הבאות. 1. סגירות לחיבור a+b נמצא בשדה 2. סגירות לכפל a*b נמצא בשדה 3. חוק החילוף בחיבור a+b=b+a 4. חוק החילוף בכפל a*b=b*a 5. קיום אדיש חיבורי a+0=a 6. קיום אדיש כפלי a*1=a 7. קיום הופכי חיבורי: לכל a קיים b בשדה כך שa+b=0, מסמנים את הb הנ"ל בa- 8. קיום הופכי כפלי: לכל a שונה מ0 קיים b בשדה כך שa*b=1, מסמנים את הb הנ"ל בzzz 1/a 9. אסוציאטיביות חיבורית: a+(b+c)=(a+b)+c 10. אסוציאטיביות כפלית: a*(b*c)=(a*b)*c 11. דיסטרביוטביות: a*(b+c)=a*b+a*c בעזרת התכונות האלה בלבד מוכיחים את כל שלל משפטים. להלן כמה דוגמאות: 1. ההופכי הוא יחיד: נניח בשלילה שקיימים לa שני הופכיים: b,c a+b=a+c=0 a+b=0 a+b+c=c+0 b+(a+c)=c b+0=c b=c לכן קיים הופכי יחיד לכל a. שים לב שבכוונה אני רושם "הופכי" במקום "הופכי חיבורי" משום שהוכחה דומה תקפה גם עבור כפל. 2.באופן דומה מוכיחים שמינוס כפול מינוס הוא פלוס: נשים לב שלפי הגדרת ההופכי חיבורי מינוס a הוא ההופכי של a zzz -(a)+a=0 נשים לב שלפי הגדרת ההופכי חיבורי מינוס מינוס a הוא ההופכי של מינוס a zzz -(a)--a=0 אל מיחידות ההופכי של מינוס a אנו מקבלים שa=--a 3. אפס כפול מספר זה אפס: a*0=a(b-b)=ab-ab=0

נקודה למחשבה, החיבור והכפל הם לא סמטרים

הכפל והמכפלה בשדה הם כמאט סימטרים, לשנהים יש אדיש, ולשניהם יש הופכי, אבל כלל הדיסטרביוטביות פועל רק על כפל עם סכום, ולא עובד על סכום עם כפל.

שאלת נכון או לא נכון

האם קיים שדה שבו שהאדיש החיבורי והאדיש הכפלי שווים ? במילים אחרות: האם תמיד 1 שונה מ0 ? יש להוכיח על ידי האקסיומות שהוגדרו, או למצוא דוגמא.

לא נכון?

לפי ההגדרה שנתתה, אין מגבלה משתי הפעולות להיות אותה פעולה. ואם כך הדבר, קל-וחומר שלשניהם יהיה אותו אדיש.

אם שתי הפעולות זהות

אז לא מתקיימת תכונת הדיסרביוטיביות a*(b+c)=a+b+c a*b+a*c=a+b+a+c=2a+b+c
עבור לעמוד
בחזרה לפורום
כרגע בפורום זה: אין משתמשים רשומים
עבור לפורום:
מתמטיקה ומדעי המחשב
בחר
בחר