שדה במתמטיקה
שדה במתמטיקה הוא קבוצה, ושתי פעולות * ו + שמקיימת את התכונות הבאות.
1. סגירות לחיבור a+b נמצא בשדה
2. סגירות לכפל a*b נמצא בשדה
3. חוק החילוף בחיבור a+b=b+a
4. חוק החילוף בכפל a*b=b*a
5. קיום אדיש חיבורי a+0=a
6. קיום אדיש כפלי a*1=a
7. קיום הופכי חיבורי:
לכל a קיים b בשדה כך שa+b=0, מסמנים את הb הנ"ל בa-
8. קיום הופכי כפלי:
לכל a שונה מ0 קיים b בשדה כך שa*b=1, מסמנים את הb הנ"ל בzzz 1/a
9. אסוציאטיביות חיבורית: a+(b+c)=(a+b)+c
10. אסוציאטיביות כפלית: a*(b*c)=(a*b)*c
11. דיסטרביוטביות: a*(b+c)=a*b+a*c
בעזרת התכונות האלה בלבד מוכיחים את כל שלל משפטים.
להלן כמה דוגמאות:
1. ההופכי הוא יחיד:
נניח בשלילה שקיימים לa שני הופכיים: b,c
a+b=a+c=0
a+b=0
a+b+c=c+0
b+(a+c)=c
b+0=c
b=c
לכן קיים הופכי יחיד לכל a.
שים לב שבכוונה אני רושם "הופכי" במקום "הופכי חיבורי" משום שהוכחה דומה תקפה גם עבור כפל.
2.באופן דומה מוכיחים שמינוס כפול מינוס הוא פלוס:
נשים לב שלפי הגדרת ההופכי חיבורי מינוס a הוא ההופכי של a
zzz -(a)+a=0
נשים לב שלפי הגדרת ההופכי חיבורי מינוס מינוס a הוא ההופכי של מינוס a
zzz -(a)--a=0
אל מיחידות ההופכי של מינוס a אנו מקבלים שa=--a
3. אפס כפול מספר זה אפס:
a*0=a(b-b)=ab-ab=0
