נחזור קצת על ההגדרות:

• אנו אומרים שקבוצה A היא מעוצמה קטנה או שווה לקבוצה B, אם קיימת פונקציה חד-חד ערכית מA לB
• אנו אומרים שקבוצה A היא מעוצמה גדולה או שווה לקבוצה B, אם קיימת פונקציה על מA לB
• לכן, A וB הן בעלות אותה עוצמה אם קיימת פונקציה הפיכה (חד-חד ערכית ועל) ביניהן.

לכן קבוצה S מעוצמה של 1.5 ("אחת וחצי") למשל צריכה לקיים

1. קיימת פונקציה חד-חד ערכית מS ל{1,2}
2. לא קיימת פונקציה על מS ל{1,2}
3. קיימת פונקציה על מS ל{1}
4. לא קיימת פונקציה חד-חד ערכית ל{1}

קל לראות שמ(1) נובע שלS יש לכל היותר שני איברים, ומ(3) שלS יש לכל הפחות איבר אחד.

אם לS יש שני איברים: s1,s2 ברור שקיימת פונקציה הפיכה (f(s1)=1,f(s2)=2)

לכן לS יכול להיות רק איבר אחד:s1

אבל, f(s1)=1 היא הפונקציה ההפיכה ל{1}

לכן ארבעת התנאים לא יכולים להתקיים, ואין עוצמות שבורות

אם ל

2^y=ax^4+bx

יש נקודת קיצון בנקודה x=1,y=1, אז אנחנו יודעים שני דברים

ראשית, הנקודה הנ"ל מקיימת את הפונקציה, ולכן

1=a+b

שנית, כאשר x=1 אז הנגזרת מתאפסת.

y'=4ax^3+2bx

ולכן

0=4a+2b

כעת יש לך שתי משוואות עם שני נעלמים, ואפשר למצוא את a וb

sigma(2^k)=1+2+...+2^k=2^(k+1)-1

המספר הזה מסומן בm ונתון שהוא ראשוני

לכל מספר ראשוני

sigma(p)=p+1

ולכן

sigma(m)=2^(k+1) z

הנהלת הקהילות כבר לא יודעת איזה זבל לפרסם בעמוד הראשון של הקהילות כדי שאנשים יכנסו.

פונקצית הזהות = לקחת קבוצה ולהחזיר את אותה קבוצה (לא לעשות כלום בעצם)

אז וודאי שזה שומר על הכל "כמו שהוא".

ולכן זה אוטומופיזם.

אני מציע שניזכר מהו אוטומורפיזם, ואז נראה האם פונקצית הזהות מקיימת את ההגדרה

אז מהו אוטומורפיזם ?

אוטומורפיזם הוא איזומורפיזם ממבנה מתמטי לעצמו.

איזומורפיזם הוא הומיאומורפיזם ששומרת על תכונות מתמטיות (תלוי במבנה המתמטי המדובר)

הומיאומורפיזם הוא העתקה חח"ע ערכית ועל בין שני מבנים מתמטים.

דוגמא לאוטומורפיזם: ניקח את החבורה הציקלית עם שלושה איברים, הפונקציה שמחליפה בין שני האיברים שהם לא הזהות היא הוטומורפיזם.

דוגמא נוספת: העתקת הזהות

השאלה היא "מה בהכרח נכון" ולא "מה יכול להיות נכון"

כן, ניתן ליצור דוגמא עם קבוצה אינסופית ושני איברים מקסימלים

התבונן בדוגמא שהבאתי, כמה איברים יש בה ?

(הבאתי לך כבר שתי דוגמאות)